在工程中，傳遞函數(shù)（也稱系統(tǒng)函數(shù)、轉(zhuǎn)移函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，畫出的曲線叫做傳遞曲線）是用來擬合或描述黑箱模型（系統(tǒng)）的輸入與輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表示。

　　通常它是零初始條件和零平衡點(diǎn)下，以空間或時(shí)間頻率為變量表示的線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI）的輸入與輸出之間的關(guān)系。然而一些資料來源中用“傳遞函數(shù)”直接表示某些物理量輸入輸出的特性，（例如二端口網(wǎng)絡(luò)中的輸出電壓作為輸入電壓的一個(gè)函數(shù)）而不使用變換到S平面上的結(jié)果。

解釋

　　傳遞函數(shù)通常用于分析諸如單輸入、單輸出的濾波器系統(tǒng)中，主要用在信號(hào)處理、通信理論、控制理論。這個(gè)術(shù)語經(jīng)常專門用于如本文所述的線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI）。實(shí)際系統(tǒng)基本都有非線性的輸入輸出特性，但是許多系統(tǒng)在標(biāo)稱參數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)行狀態(tài)非常接近于線性，所以實(shí)際應(yīng)用中完全可以應(yīng)用線性時(shí)不變系統(tǒng)理論表示其輸入輸出行為。

　　簡單說明一下，下面的描述都是以復(fù)數(shù){\displaystyle s=\sigma+j\cdot\omega}{\displaystyle s=\sigma+j\cdot\omega}為變量的。在許多應(yīng)用中，足以限定{\displaystyle\sigma=0}{\displaystyle\sigma=0}(于是{\displaystyle s=j\cdot\omega}{\displaystyle s=j\cdot\omega})，從而將含有復(fù)參數(shù)的拉普拉斯變換簡化為實(shí)參{\displaystyle\omega}\omega的傅里葉變換。

　　那么，對(duì)于最簡單的連續(xù)時(shí)間輸入信號(hào){\displaystyle x(t)}x(t)和輸出信號(hào){\displaystyle y(t)}y(t)來說，傳遞函數(shù){\displaystyle H(s)}H(s)所反映的就是零狀態(tài)條件下輸入信號(hào)的拉普拉斯變換{\displaystyle X(s)={\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\}}X(s)={\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\}與輸出信號(hào)的拉普拉斯變換{\displaystyle Y(s)={\mathcal{L}}\left\{y(t)\right\}}Y(s)={\mathcal{L}}\left\{y(t)\right\}之間的線性映射關(guān)系：

　　{\displaystyle Y(s)=H(s)\,X(s)}Y(s)=H(s)\,X(s)

　　或者

　　{\displaystyle H(s)={\frac{Y(s)}{X(s)}}={\frac{{\mathcal{L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\}}}}H(s)={\frac{Y(s)}{X(s)}}={\frac{{\mathcal{L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\}}}

　　在離散時(shí)間系統(tǒng)中，應(yīng)用Z變換，傳遞函數(shù)可以類似地表示成

　　{\displaystyle H(z)={\frac{Y(z)}{X(z)}}}H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}

　　這常常被稱為脈沖傳遞函數(shù)。

從微分方程直接推導(dǎo)

考慮一個(gè)常系數(shù)線性微分方程

　　{\displaystyle L<u>={\frac{d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb+a_{n-1}{\frac{du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}L<u>={\frac{d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac{d^{{n-1}}u}{dt^{{n-1}}}}+\dotsb+a_{{n-1}}{\frac{du}{dt}}+a_{n}u=r(t)

　　其中u和r是t的適當(dāng)?shù)墓饣瘮?shù)。L是相關(guān)函數(shù)空間上定義的，將u變換為r的算子。這種方程可以用于以強(qiáng)迫函數(shù)r為變量約束輸出函數(shù)u。傳遞函數(shù)寫成算子{\displaystyle F[r]=u}F[r]=u的形式，是L的右逆，因?yàn)閧\displaystyle L[F[r]]=r}L[F[r]]=r。

　　這個(gè)常系數(shù)齊次微分方程{\displaystyle L<u>=0}L<u>=0的解可以通過嘗試{\displaystyle u=e^{\lambda t}}u=e^{{\lambda t}}找到。這個(gè)代換會(huì)產(chǎn)生特征多項(xiàng)式

　　{\displaystyle p_{L}(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1}\lambda^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}\lambda+a_{n}\,}p_{L}(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1}\lambda^{{n-1}}+\dotsb+a_{{n-1}}\lambda+a_{n}\,

　　在輸入函數(shù)r的形式也為{\displaystyle r(t)=e^{st}}r(t)=e^{{st}}的時(shí)候，非齊次的情形也可以很容易的解決。在那種情況下，通過代入{\displaystyle u=H(s)e^{st}}u=H(s)e^{{st}}就可以發(fā)現(xiàn){\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}L[H(s)e^{{st}}]=e^{{st}}當(dāng)且僅當(dāng)

　　{\displaystyle H(s)={\frac{1}{p_{L}(s)}},\qquad p_{L}(s)\neq 0.}H(s)={\frac{1}{p_{L}(s)}},\qquad p_{L}(s)\neq 0.

　　把那當(dāng)作傳遞函數(shù)的定義需要注意區(qū)分實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的差異。這是受到abs(H(s))表示增益，而用-atan(H(s))表示相位滯后慣例的影響。傳遞函數(shù)的其他定義還有例如{\displaystyle 1/p_{L}(ik)}1/p_{L}(ik)。

信號(hào)處理

　　設(shè)普通線性非時(shí)變系統(tǒng)的輸入為{\displaystyle x(t)\}x(t)\，輸出為{\displaystyle y(t)\}y(t)\，并且{\displaystyle x(t)\}x(t)\和{\displaystyle y(t)\}y(t)\的拉普拉斯變換為

　　{\displaystyle X(s)={\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\}\equiv\int _{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt}{\displaystyle X(s)={\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\}\equiv\int _{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt}

　　{\displaystyle Y(s)={\mathcal{L}}\left\{y(t)\right\}\equiv\int _{0}^{\infty}y(t)e^{-st}\,dt}{\displaystyle Y(s)={\mathcal{L}}\left\{y(t)\right\}\equiv\int _{0}^{\infty}y(t)e^{-st}\,dt}.

　　那么輸出與輸入之間通過傳遞函數(shù){\displaystyle H(s)\}H(s)\發(fā)生關(guān)系

　　{\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)\,}Y(s)=H(s)X(s)\,

　　并且傳遞函數(shù)為

　　{\displaystyle H(s)={\frac{Y(s)}{X(s)}}}H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}。

頻響函數(shù)

　　在信號(hào)分析與處理中，通常感興趣的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，這時(shí)候經(jīng)常使用頻響函數(shù)來表示系統(tǒng)對(duì)于不同頻率諧波的響應(yīng)特征。頻響函數(shù)通常用傅里葉變換表示，傅里葉變換是{\displaystyle s=j\omega}s=j\omega的雙邊拉普拉斯變換的一個(gè)特例。頻響函數(shù)實(shí)際上是線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，只有再加上瞬態(tài)響應(yīng)分量，才構(gòu)成系統(tǒng)的全響應(yīng)，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

　　當(dāng)一個(gè)振幅為{\displaystyle|X|\}|X|\、角頻率為{\displaystyle\omega\}\omega\以及相位為{\displaystyle\arg(X)\}\arg(X)\的諧波信號(hào)

　　{\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}

　　其中{\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}X=|X|e^{j\arg(X)}

　　輸入到線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)候，那么對(duì)應(yīng)的輸出為：

　　{\displaystyle y(t)=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))}}y(t)=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))}

　　且{\displaystyle Y=|Y|e^{j\arg(Y)}}Y=|Y|e^{j\arg(Y)}.

　　注意，在線性非時(shí)變系統(tǒng)中，諧波信號(hào)輸入頻率{\displaystyle\omega\}\omega\沒有發(fā)生變化，只有三角函數(shù)的振幅和相位經(jīng)過系統(tǒng)發(fā)生了改變。相位延遲（也就是傳遞函數(shù)引起的與頻率相關(guān)的正弦曲線延遲）為：

　　{\displaystyle\tau _{\phi}(\omega)=-{\frac{\phi(\omega)}{\omega}}}\tau _{{\phi}}(\omega)=-{\frac{\phi(\omega)}{\omega}}。

　　群延遲（也就是傳遞函數(shù)引起的與頻率相關(guān)的正弦曲線包絡(luò)線延遲）通過計(jì)算相位延遲對(duì)于角頻率{\displaystyle\omega\}\omega\的導(dǎo)數(shù)得到，

　　{\displaystyle\tau _{g}(\omega)=-{\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}}}\tau _{{g}}(\omega)=-{\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}}.

　　頻率響應(yīng){\displaystyle H(j\omega)}H(j\omega)可分解為幅頻響應(yīng){\displaystyle A(\omega)}A(\omega)或增益{\displaystyle G(\omega)}G(\omega)以及相頻響應(yīng){\displaystyle\phi(\omega)}\phi(\omega)

　　{\displaystyle G(\omega)={\frac{|Y|}{|X|}}=|H(j\omega)|\}G(\omega)=\frac{|Y|}{|X|}=|H(j\omega)|\

　　{\displaystyle\phi(\omega)=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega))}\phi(\omega)=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega)).

　　并可由此繪出系統(tǒng)的幅頻特性曲線與相頻特性曲線，總稱波特圖。

　　頻率響應(yīng)也可以按其實(shí)部與虛部分解表示為：

　　{\displaystyle H(j\omega)=\operatorname{Re}(\omega)+j\operatorname{Im}(\omega)}H(j\omega)=\operatorname{Re}(\omega)+j\operatorname{Im}(\omega)

　　并由此繪出系統(tǒng)頻率響應(yīng)的奈奎斯特曲線。

　　不管是使用拉普拉斯變換還是傅立葉變換，它們都將時(shí)間域上系統(tǒng)響應(yīng)的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)域或頻域上的代數(shù)（頻率相乘，相位相加）運(yùn)算，并且可以直觀的揭示出系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)頻率的作用。

控制工程

　　在控制工程和控制理論中，傳遞函數(shù)是從拉普拉斯變換推導(dǎo)出來的。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制工程中的一個(gè)主要工具，但是，在分析多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)的時(shí)候它就顯得很笨拙了，在分析這樣的系統(tǒng)的時(shí)候大部分被狀態(tài)空間表示所代替。盡管這樣，經(jīng)常也可以從任意的線性系統(tǒng)得到傳遞矩陣用于分析它的動(dòng)態(tài)及其它特性：傳遞矩陣中的每個(gè)元素都是與特定輸入和特性輸出相關(guān)的一個(gè)傳遞函數(shù)。

光學(xué)

　　在光學(xué)中調(diào)制傳遞函數(shù)描述的是光學(xué)系統(tǒng)傳遞對(duì)比度的能力。

　　例如，如果一系列的黑白交替條紋以一個(gè)特定的空間頻率畫出來，那么當(dāng)觀察這些條紋的時(shí)候，圖像質(zhì)量可能發(fā)生退化。白色的條紋看起來變暗了，而黑色的條紋看起來變亮了。

　　在特定空間頻率的調(diào)制傳遞函數(shù)定義為：

　　{\displaystyle\mathrm{MTF}(f)={\frac{M(\mathrm{image})}{M(\mathrm{source})}}}\mathrm{MTF}(f)=\frac{M(\mathrm{image})}{M(\mathrm{source})}

　　其中調(diào)制(M),是根據(jù)下式從圖像或者光源亮度中導(dǎo)出來的：

　　{\displaystyle M={\frac{(L_{\mathrm{max}}-L_{\mathrm{min}})}{(L_{\mathrm{max}}+L_{\mathrm{min}})}}}M=\frac{(L_\mathrm{max}-L_\mathrm{min})}{(L_\mathrm{max}+L_\mathrm{min})}

非線性系統(tǒng)

　　許多非線性成分（如張弛振蕩器）就不存在傳遞函數(shù)，但可以用描述函數(shù)來近似。

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